ORAN-ORANTI SORU ÇÖZÜM TAKTİKLERİ

a/b  =  c/d gibi iki oranın eşitliğine orantı denir.

Doğru Orantı:Sayılardan biri artarken diğeride artıyorsa doğru orantılı demektir.Mesela reel sayılarda çıkarma ve bölme doğru orantılıdır.

Ters Orantı:Sayılardan biri artarken diğeri azalıyorsa ters orantılı demektir.Mesela reel sayılarda çarpma ve toplama ters orantılıdır.

NOT:Bir soruda mesela 2 ve 3 ile orantılı diyorsa doğru orantılı olarak alıcağız.

ÖRN:26 sayısını 2 ve 3 ile doğru  5 ile ters orantılı şekilde parçalayalım.

         2.k  ,3.k,k/5 şeklinde yazarız.2k+3k+(k/5)=26
                                                         26k/5=26
                                                         k=5
     2.5=10     3.5=15    5/5=1

Bileşik Orantı

ÖRN:18 İşçi 12 gün çalışarak 120 dönümlük tarlayı çapıyor.
       Aynı nitelikte 14 işçi 140 dönümlük tarlayı kaç günde çapalayabilir?

Cevap:18 işçi 12 gün çalışıyorsa 1 tanesinin 18.12 gün çalışması gerekir.Yani 1 işçi 216 gün çalışarak 120 dönümlük tarlayı çapalar
               
               1 işçi 216 gün çalışarak 120 dönümlük araziyi çapalarsa    1 gün çalışarak 120/216 dönümlük araziyi çapalar.Yani   1 işçi 1 gün çalışarak 5/9 dönümlük araziyi çapalar.

          1 işçi 1 günde 5/9 lu araziyi çapalarsa 140 dönümlük araziyi   140/(5:9) günde çapalar.Yani  252 günde çapalar.
         1 işçi 252 günde 140 dönümlük araziyi çaparlarsa   14 işçi  252/14'ten 18 günde çapalar.

(BU TARZ SORULARDA EZBERLEMEYİN.EZBERLERSENİZ UNUTMA OLASILIĞINIZ YÜKSEK BİR SORU TARZI ÇÜNKÜ BU)

ARİTMETİK ORTALAMA

Verilen sayı dizisindeki terimlerin toplamının, terim sayısına bölünmesiyle elde edilen değerdir.
a+b+c+d+,,,,,,+z
------------------
  n

GEOMETRİK ORTALAMA





HARMONİK ORTALAMA

İki veri için harmonik ortalama

Yalnız iki tane veri, ( ve ) elde bulunursa, bunlar için harmonik ortalama H şöyle ifade edilebilir.

Bu halde bulunan harmonik ortalama, bu iki sayının aritmetik ortalamasına şöyle ilişkilidir;

ve bu iki verinin geometrik ortalamasi olan G ise

Bu harmonik ortalamaya şöyle ilişkilidir:

Böylece

,

olur. Bu demektir ki geometrik ortalama, aritmetik ortalama ve harmonik ortalama'nın geometrik ortalaması olur.
Ama çok dikkat edilmelidir ki bu sonuç yalnız ve yalnız iki veri için geçerli olur.

MODÜLER ARİTMETİK

İyi çalışmalar arkadaşlar ,kolay gelsin :)

İŞLEM

Boş olmayan bir A kümesi için A*A 'nın bir b alt kümesinden A'ya tanımlanmış her fonksiyona A'da işlem denir.

ÖZELLİKLERİ

Boş olmayan bir A kümesinde tanımlı * işlemi verilsin.

Kapalılık Özelliği:Her eleman x,y€A için (x*y)€A kümesi  (*) işleminde kapalıdır.

UYARI:(*)'ın işlem belirtmesi için tanımlı olduğu küme üzerinde kapalı olması gerekir.

Tamsayılar kümesi toplama,çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalı,bölmeye göre kapalı değildir.
Reel sayılar kümeside toplama,çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalı,bölmeye göre kapalı değildir.Çünkü bölme işlemindeki kapalılığı bozan 1/0 =tanımsız vardır.

Değişme Özelliği:Her eleman x,y€A için x*y=y*x   ise değişme özelliği vardır.

Reel sayılarda toplama ve çarpmada değişme özelliği var,çıkarma ve bölmede yoktur.

Birleşme Özelliği:Her eleman x,y€A için  

(x*y)*z=x*(y*z)  var ise birleşme özelliği vardır.

Birim Eleman:e€A olmak üzere
   Her eleman x,y€A için x*e=e*x=x ise 'e' elemanına birim eleman veya etkisiz eleman denir.Bir işlemde birim eleman varsa tektir.

Reel sayılarda toplama ve çıkarma işleminde birim eleman 0,çarpma işleminde ise 1 dir.

Ters Eleman:A kümesinde (*) işlemine göre birim eleman e olsun.x*x·¹=x·¹*x=e olacak şekilde x·¹€A varsa x·¹ elemanına x elemanının * işlemine göre tersi denir.

Yutan Eleman: Her eleman x,y€A için y*x=x*y=y şeklinde ve y€A ise y elemanına * işlemine göre yutan eleman denir.
Reel sayılarda çarpma işleminin yutan elemanı 0'dır.

Uyarı:Bir kümede tanımlı bir işlemin yutan elemanı varsa yutan elemanın tersi yoktur.Yani tersi olmayan eleman yutan elemandır.

İŞLEM TABLOSUNDA İŞLEM YAPMA

 

 

SORU ÇÖZÜMLERİ

 

 

 

FONKSİYONLAR

 

A ve B boş olmayan kümeler olmak üzere A kümesinin her elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanını eşleyen bağıntıya A'dan B'ye bir fonksiyon denir.

UYARI:Tanım kümesindeki her eleman görüntü kümesindeki bir ve tek elemana gidicek.Görüntü kümesindeki elemanların açıkta olması fonksiyonluğu bozmaz.

FONKSİYON TÜRLERİ

BİREBİR FONKSİYON

Tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki farklı bir elemana gidiyorsa fonksiyon birebir fonksiyondur.

UYARI:Grafiği verilen fonksiyonun birebir olup olmadığı araştırılırken x eksenine paralel doğrular çizilir.Paralel doğrular grafiği bir tek noktada kesiyorsa fonksiyon birebir birden fazla noktada kesiyorsa birebir değildir.

ÖRTEN FONKSİYON

İki kümenin elemanları birbirleriyle tam eşleşen fonksiyona örten fonksiyon denir.

UYARI:Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olup olmadığı araştırılırken değer kümesi içinden seçtiğimiz her y için x eksenine paralel doğru çizdiğimizde bu paralel doğru grafiği en az bir noktada kesiyorsa örten,en az bir noktada kesmiyorsa örten değildir.

İÇİNE FONKSİYON


Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir













SABİT FONKSİYON

Tanım kümesindeki her eleman görüntü kümesinde aynı elemana gidiyorsa sabit fonksiyondur. 
f(x)=c

ax+b                                              
------   sabit bir fonksiyon ise        a/c=b/d
cx+d                                             

BİREBİR VE ÖRTEN

Tanım kümesindeki her eleman görüntü kümesindeki farklı bir elemana gidiyor ve görüntü kümesinde eşlenmemiş eleman kalmıyorsa birebir ve örten fonksiyondur.

BİRİM FONKSİYON

f(x)=x  ,f(x+1)=x+1  şeklinde yazılabilen fonksiyonlara birim fonksiyon denir.

UYARI:Birim fonksiyonun grafiği x=y dir.(1. açıortay doğrusu)


PERMÜTASYON FONKSİYON

A→A tanımlanan 1-1 ve örten her fonksiyona permütasyon fonksiyon denir.

DOĞRUSAL FONKSİYON

f(x)=ax+b şeklinde yazılabilen fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.

TEK VE ÇİFT FONKSİYONLAR

F(X)=F(-X) İSE ÇİFT
F(-X)=-F(X) İSE TEK    fonksiyondur

TERS FONKSİYON

Bir fonksiyonun tersinin olması için fonksiyonun birebir ve örten olması gerekmektedir.

f:A→B      :B→A

f(x)=x+7
y=x+7   →y gördüğüm yere x,x gördüğüm yere y yazcam.
x=y+7
y=x-7  
:x-7


f(x)=x²+4x+5
y=x²+4x+5
y=(x+2)²+1
y-1=(x+2)²
x-1=(y+2)²
√x-1=y+2
√x-1  -2 =y
:√x-1  -2

f(x):ax+b
       -------     ise    :-dx+b
       cx+d                                     ---------
                                                      cx-a

BİLEŞKE FONKSİYON

İki fonksiyonun birleşmesi sonucu oluşan fonksiyona bileşke fonksiyon denir.
fog(x) şeklinde gösterilir.

ÖZELLİKLERİ

1-)fog(x)=f(g(x)
2-)fog(x)·¹=g·¹of·¹(x)
3-)fof·¹=I(BİRİM FONKSİYON)

FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

1-)(f+g)(x)=f(x)+g(x)

2-)(f-g)(x)=f(x)-g(x)

3-)(f.g)(x)=f(x).g(x)

4-)(f/g)(x)=f(x)/g(x)

FONKSİYON SAYISI

S(A)=a   (b)=b olsun

1-)A'dan B'ya ba      tane fonksiyon tanımlanır

 

2-)A'dan B'ye tanımlı birebir  fonksiyon sayısı     P(b,a)=b!

                                                                                         --------                (b≥a)

                                     (b-a)!

 

3-)A'dan A'ya birebir  ve örten olmayan fonksiyon sayısı   a^a -a! dır.

 

4-) A'dan B'ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b tanedir.

 

5-)A'dan B'ye yazılan fonksiyon olmayan bağıntı sayısı 2^a.b - ba    dır.



 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

ÜNLÜ SAYILAR

SIFIR
Sıfır(0) Arapça şafira ya da şifr , Sanskritçe sünya, İngilizce zero(nil-null). Boş, hiç olan; ya da herhangi bir şey olmayan. Batı dillerindeki şifre sözcüğünün kökeni. Günümüz sayı sisteminin merkezine, hangi serüvenleri izleyerek gelip oturduğu aşağı yukarı biliniyor. Matematiğin tarihi,bu sayının, Hint kökenli olduğundan hemen hemen emin. Basamak yerine ilk kullanımı, çok eskilere gitmesine rağmen, bu günkü anlamdakine en yakın kullanımı, Hint matematikçi Brahmagupta'nın Brahmasputha Siddhanta adlı eserinde anlatılmaktadır. MS 628 tarihini taşıyan bu eserinde Brahmagupta, sıfır ile dört işlemin kurallarını sıralar. Toplama, çıkarma ve çarpmada sorunsuz sıyrılan Brahmagupta, bölmede zorlanmaktadır. Şöyle diyor: 
"-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayının sıfır ile bölünmesi durumunda, sonuç paydasında sıfır bulunan bir kesirdir". 
"-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayı tarafından bölünen sıfır, ya sıfırdır veya payında sıfır, paydasında bir sayı bulunan kesirdir."
"-Sıfır bölü sıfır, sıfırdır."
Daha sonraki yıllarda tanımsız olarak kabul edilen sıfırla bölme işlemi gerçekten hala kafalarımızı karıştırmaya devam ediyor. Halbuki sıfır'ın bir sayıyla bölünmesinde hiçbir sorun yok. Sıfır bölü sıfır ise sıfır değil; o da tanımsız. 
Günümüzde kullandığımız sayı sistemine Hint-Arap sayı sistemi diyoruz. Ondalık basamaklı sayı sistemi, Hindistan'dan Arap yarımadasına, oradan da İslam İmparatorluğu'nun genişlemesine parelel olarak Kuzey Afrika ve Endülüs üzerinden Avrupa'ya ulaşmıştır. Kendisi Becaiye'de (Cezayir) yetişmiş olan ünlü matematikçi Fibonacci, 1202 de yayınladığı Liber Abaci adlı eserinde bu sistemi Avrupa'ya tanıtmıştır.


Pİ SAYISI:

Bir çemberin çapı 1 olduğunda, çevresi Pi'ye eşittir.

Pi nedir:

Matematikçi: "Pi, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır."
Bilgisayar Programcısı: "Pi 3,14159265389 dur"
Fizikçi: "3,14159artı eksi 0,000005'tir"
Mühendis: "Yaklaşık 22/7'dir"

**Bilindiği gibi Pi, sonsuz bir rakamlar dizisi. Belirli bir düzende kendisini tekrarlamayan sonlu bir çok alt dizilerden oluşur. Bu sonlu alt dizilerin kümesi, hemen tahmin edebileceğiniz üzere, sonsuz eleman taşımakla kalmaz, aynı zamanda muhtemel bütün sonlu alt dizileri de içinde taşır. Bu özelliği nedeniyle de sizin ya da sevgilinizin doğum gününü ggaayy veya ggaayyyy gibi bir dizin olarak yazdığınızda, bunun pi'nin içinde olduğundan emin olabilirsiniz

Mükemmel Sayı

Mükemmel sayı kendisi haricindeki tüm çarpanlarının toplamı kendisini veren sayıdır. Örneğin 6 bir mükemmel sayıdır çünkü kendisi haricindeki çarpanları yani 1, 2 ve 3 toplanınca kendisini verir: 1 + 2 + 3 = 6. Diğer örneklerse 28, 496, 8128 şeklinde gidiyor. Şimdiye kadar hiç tek mükemmel bir sayıya rastlanmamış. Merak edilen böyle bir sayının varolup olmadığı. Eğer vardır diyorsanız bu sayıyı, saklandığı yerden bulup çıkarmalı, ya da olmadığını iddia ediyorsanız bunu ispatlamalısınız.

Riemann Hipotezi

Bilindiği gibi asal sayılar düzenli bir dağılıma sahip değiller. Alman matematikçi G.F.B. Riemann (1826 - 1866) asal sayıların dağılımlarının Riemann-Zeta adını verdiği bir fonksiyon ile çok yakından ilişkili olduğunu gözlemledi.

Bu fonksiyon s'nin 1 dışındaki her kompleks sayı değeri için tanımlıdır.

Riemann Hipotezine göre bu fonksiyonun, (s) = 0 ifadesini sağlayan tüm önemsiz olmayan s değerleri, reel kısmı ½ olan düşey doğru üzerine düşer (bu doğruya kritik doğru deniyor). İlk 1 500 000 000 değer için bu doğruluk tespit edilmiş olsa da asıl istenen, söz konusu tüm değerler için doğru olduğunun ispatlanması.

Collatz Problemi

Önce bir pozitif tamsayı seçin. Bu sayıya yapılcak işlem şu:

Sayı tekse 3 katını alıp 1 ekleyin. Sayı çiftse 2'ye bölün.

Aynı işleme çıkan sayıya uygulayın. En sonunda elde edeceğiniz sayı1'dir.

örneğin 6 sayısı  

6/2=3      3.3+1=10     10/2=5     5.3+1=16

16/2=8   8/2=4        4/2=2     2/2=1


Seçtiğiniz sayıya dikkat edin. Örnek olarak 27 sayısını seçtiyseniz 1 sayısını bulmanız için 112 basamak ilerlemeniz gerektiriyor. Tabi kaç basamak alacağı sayının büyük veya küçük olmasıyla ilgili değil. Sadece bu algoritmanın her zaman 1 cevabını verdiğini ispatlamanın peşinde koşmayın. Unutmayın ki sonunda 1 vermeyen bir sayı da varolabilir ve bu da, sorunun cevaplandığı anlamına gelir.

 

Problemin ispatının yada aksinin ispatının yapılması durumunda ödülünün 1 milyon dolar olduğundan bahsediliyor.

Mersenne Asalları

 Fermat'ın sıkça fikir alışverişinde bulunduğu çağdaşı Mersenne 2ⁿ - 1 şeklindeki sayılar üzerinde çalışıyordu. Mersenne sayıları (M_n) adı verilen bu sayıların başlangıçta n asal olduğunda asal değer verdiği düşünüldü. Gerçekten de n=11'e kadar doğru çalışan fikir 11'de asal olmayan bir değer alınca bu düşüncenin de yanlış olduğu anlaşılabildi ama 2ⁿ - 1'in asal olması için n'nin asal olması gerektiği şartı doğrudur. Yine de matematikçiler bu sayıların peşini bırakmadı. Sonsuz tane olup olmadıkları hala merak edilen Mersenne sayılarından Aralık 2005 itibariyle 43.sü bulundu.

Fermat Asalları

 

17. yüzyılda amatör matematikçi ünvanı ile bilinen Fermat asal sayılar konusuna oldukça önemli katkılarda bulundu. Bu katkılar arasında doğru olduğunu iddia edip ispatlayamadığı kestirimler de vardı. Örneğin + 1 biçimindeki sayıların her n doğal sayısı için bir asal verdiğini iddia etti. Bu biçimdeki sayılara Fermat sayıları asal olanlara da Fermat asalları denir. Gerçekten de 5'e kadar tüm doğal sayılar için asal değer veren ifadenin yanlış olduğu ancak 100 yıldan fazla zaman sonra anlaşılabildi. n=5 için 2³² + 1 = 4294967297 sayısının 641 ile bölündüğünün farkına varansa Euler oldu. Bugün ispatı yapılması beklenen önermelerden bir diğeriyse "Fermat asalları sonlu tanedir" kestirimi. Bu ifadenin en güçlü gerekçesiyse şimdiye kadar sadece 5 tane Fermat asalının bulunmasıdır

Fermat teoremi 90 lı yıllarda İngiliz Andrew Wiles tarafından ispatlanmıştır.

Serttop-Wilson Teoremi

Bu yazımızda teoremi bulan bilim adamının yazdığı mektup yer almaktadır.

Şükrü Serttop tarafından, 28-07-2008 tarihinde gönderildi.

"Wilson teoremi üzerinde çalışarak önemli bir yenilik yaptım ve geniş bir internet araştırmasında da buna rastlamadım. Ancak yine de yeni bir buluş olduğundan emin olmak için sizin de yardımınızı rica ediyorum. 

Serttop-Wilson Teoremi : P bir asal sayı ise ; 

[(-1)^{^}(s)] (s)! (P-1-s)! + 1 = 0 (mod P) 0 < s < P-1 , s = Tamsayı 

Örnek : 13 sayısı asal olduğu için (13-1)! + 1 sayısını böler. Bu gerçekliği Wilson Teoremi'ne ve benim geliştirdiğim şekillerine göre aşağıda veriyorum : 

Wilson : 12! + 1 = 13 x 36.846.277 

Yeni : 1! x11! - 1 = 13 x 3.070.523 
: 2! x10! +1 = 13 x 558.277 
: 3! x 9! - 1 = 13 x 167.483 
: 4! x 8! + 1 = 13 x 74.437 
: 5! x 7! - 1 = 13 x 46.523 
: 6! x 6! + 1 = 13 x 39.877 

NOT : Amatör matematikçi değilim, İTÜ Elektronik'te akademisyenlik geçmişim var. Teoremin genel ispatı bende var ve tescil ettirdim. İlginize şimdiden teşekkür ederim ve cevabınızı heyecanla bekliyorum. "

Saygılarımla 

Şükrü Serttop 

100 Yıllık Problemi Çözebilen Dahi: Dr.Grigori Yakovlevich Perelman

Matematikte çözülemeyen en büyük problemlerden biri olan Poincaré sanısını çözen Rus matematikçi.

Yüz yıldır çözülemeyen ve dünyanın en büyük 7 probleminden biri sayılan Poincaré önermesini 2002 yılında çözen Rus matematikçi, çözümünün 4 yıl sonra 2006 yılında kabul görmesinden ve de bu fazla gecikmeye neden olan ABD'deki bazı meslektaşı matematikçilerden gerekli saygıyı görmediğiden onuru kırıldığı için 1 milyon dolar para ödülünü ve matematiğin Nobel'i olarak kabul edilen Fields Ödülü'nü reddetmiştir.
St. Petersburg’da bulunan Rus Bilimler Akademisi Steklov Matematik Enstitüsü profesörlerinden, Dr. Grigori Perelman, matematik tarihinin “Poincaré Conjecture” olarak bilinen problemini çözdüğünü iddia etti. Problemin kanıtının onaylanması belki de aylar alacak, ancak kanıtın onaylanmasıyla matematik dünyasını yüzyıldır meşgul eden 3-boyutlu nesneler üzerine Poincaré yargısı kanıtlanmış olacak. Bu buluşun sonuçları geometriden fiziğe birçok alanda değişime yol açacak.

1904’de Fransız matematikçi Henri Poincaré tarafından ortaya atılan Poincaré önermesi, gerildiğinde, küçüldüğünde, burkulduğunda ve büküldüğünde formlarını yitirmeyen nesnelerin geometrik özelliklerini üzerine çalışıyor. Dünya yüzeyinin ince tabakası topolojistler “iki boyutlu” olarak nitelendiriliyor. Poincaré önermesi üç boyutlu nesneler hakkında şu yargıya varıyor: Üç boyutlu bir küre deliksiz olan tek üç boyutlu alandır.

Henri Poincaré 

GoldBach Kestirimi

Sayılar Kuramı'nın 270 senedir çözülemeyen önemli problemlerinden bir tanesinin çözümüne yaklaşıldı. Goldbach Sanıtı olarak adlandırılan problem 1742 yılında ortaya atılmıştı.

Zayıf Goldbach sanıtı (çözülememiş, açık problem), 7'den büyük herhangi bir tek sayının en fazla üç asal sayının toplamı olarak yazılabildiği.Tek bir sayıyı üç asal sayının toplamı olarak yazmak için, toplamdan 3 çıkartmak, kalan sayı çift olacağı için iki asalın toplamı olarak yazmak ve 3'ü toplama geri eklemek ve 3. asal sayı olarak da eklemek yeterli.

Çok büyük asal sayılar, özellikle kriptoloji uygulamalarında büyük öneme sahipler.

Ancak tüm sayıları kapsayacak bir ispat yaklaşık 270 yıldır en yetenekli matematikçiler tarafından bile yapılamadı.

Güçlü Goldbach Sanıtı, aslında çağdaşı farklı bir matematikçiye, Leonhard Euler'e ait olan sanıt '2'den büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceği.

Matematikçiler bilgisayar yardımı ile 19 basamaklı sayılara değin tüm tam sayılar için iki sanıtı da test ettiler ve bir istisna bulamadılar. Üstelik sayı büyüdükçe daha fazla sayıda farklı toplamlar olarak yazmanın mümkün olduğunu da gördüler.

Bursalı Mühendis şükrü serttop 266 yıldır çözülemeyen goldbach hipotezini çözdü.7 yıl sadece bununla uğraşan serttop ailesini ihmal ettiğini ve işinden olduğunu söyledi.69 sayfalık bir çalışma kağıdı hazırlamış.